有 12 个球，外形一模一样，其中有 11 个是真球，重量相等；有 1 个假球，与真球重量不同，但不知道假球比真球重还是轻。问能否用没有砝码的天平称三次，将假球找出来，并判断出假球比真球重还是轻。

题目如上述。

解答:

用 B₁，B₂，B₃，B₄，B₅，B₆，B₇，B₈，B₉，B₁₀，B₁₁，B₁₂分别表示这12个球. 用{B_x，B_xx，B_xxx，…}表示某几个球构成的集合(也就是组). 将这12个球分为每组4个的三组G₁、G₂和G₃:

• G₁组 := {B₁，B₂，B₃，B₄};
• G₂组 := {B₅，B₆，B₇，B₈};
• G₃组 := {B₉，B₁₀，B₁₁，B₁₂}.

用 w({B_x，B_xx，B_xxx，…})表示将某几个球放在天平上称重。用>表示天平上左边的球的重量比右边的球的重量大，用<表示天平上左边的球的重量比右边的球的重量小，用=表示天平上两边球的重量相等即天平平衡。用~表示天平两边球的重量大小关系待定。

1. 先比较第一组和第二组。如果平衡，则说明假球在第三组，然后称两次可以判断假球，过程如下： 比较 w({B₁，B₂，B₃}) 和 w({B₉，B₁₀，B₁₁})，如果平衡，则说明 B₁₂是假球，然后任取一真球和B₁₂比较，就可以完满解决；如果不平衡，则说明假球在中，并且可以判断假球比真球重还是轻，然后比较B₉和B₁₀即可判断出哪个是假球。

2. 如果不平衡，不妨假设 w({B₁, B₂, B₃, B₄}) > w({B₅, B₆, B₇, B₈})，那么假球在前两组中，B₉, B₁₀, B₁₁, B₁₂为真球。

   下面比较 w({B₁, B₂, B₃, B₅}) 与 w({B₄, B₉, B₁₀, B₁₁})，有三种情况：

   • 如果平衡，则说明 B₁, B₂, B₃, B₄, B₅ 全为真球，那么假球在 {B₆, B₇, B₈} 中，且由 w({B₁, B₂, B₃, B₄}) > w({B₅, B₆, B₇, B₈}) 知假球比真球轻。进一步比较w({B₆})和w({B₇})，若平衡则B₈为假球，若不平衡则 B₆ 和 B₇ 中的轻者为假球;
   • 如果 w({B₁, B₂, B₃, B₅}) > w({B₄, B₉, B₁₀, B₁₁})，则 {B₄, B₅} 中不可能包含假球，否则将 B₄ 和 B₅ 左右交换位置，不等号会改变方向，因此假球在 {B₁, B₂, B₃} 中，且比真球重。进一步比较 w({B₁}) 和 w({B₂})，若平衡则 B₃ 为假球，若不平衡则重者为假球；
   • 如果 w({B₁, B₂, B₃, B₅}) < w({B₄, B₉, B₁₀, B₁₁})，则 B₄，B₅ 不能全为真球，否则假球必在 {B₁，B₂，B₃} 中且比真球轻，这与 w({B₁，B₂，B₃，B₄}) > w({B₅，B₆，B₇，B₈}) 矛盾，因此假球为 B₄ 和 B₅ 之一，这时，显然 B₄ 比 B₅ 重。任取真球 B₁ 与 B₄ 比较，若平衡则 B₅ 为假球且比真球轻；若 w({B₁}) < w({B₄})，则 B₄ 为假球且比真球重；w({B₁}) > w({B₄}) 的情况不可能发生(因为球的重量只有两种)。
3. 如果 w({B₅，B₆，B₇，B₈}) > w({B₁，B₂，B₃，B₄})，比较过程与 2. 完全类似，这里从略。